| Titre : |
Cours de calcul formel : corps finis, systèmes polynomiaux, applications |
| Type de document : |
texte imprimé |
| Auteurs : |
Philippe Saux Picart, Auteur ; Éric Rannou (1966-....), Auteur |
| Editeur : |
Paris : Ellipses |
| Année de publication : |
2002 |
| Collection : |
Mathématiques pour le 2e cycle, ISSN 1281-4164 |
| Importance : |
X-214 p. |
| Présentation : |
ill., couv. ill. |
| Format : |
26 cm |
| ISBN/ISSN/EAN : |
978-2-7298-1025-2 |
| Prix : |
21,50 EUR |
| Note générale : |
Bibliogr. p. 212. Index |
| Langues : |
Français (fre) |
| Mots-clés : |
La collection Mathématiques 2è cycle propose le mettre à la disposition des étudiants de licence et de maîtrise de mathématiques des ouvrages couvrant l'essentiel des programmes actuels des universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront être utiles aussi - étudiants qui préparent le CAPES ou l'agrégation, ainsi qu aux élèves des grandes écoles.
Nous avons voulu rendre ces livres accessibles à tous : les sujets traités sont présentés de manière simple et progressive, tout en respectant scrupuleuse aient la rigueur mathématique. Chaque volume comporte Lin expose du cours avec des démonstrations détaillées de tous les résultats essentiels et de nombreux exercices. Les auteurs de ces ouvrages ont tous une grande expérience de l'enseignement des mathématiques au niveau supérieur.
Ce livre de Philippe Saux Picart et Éric Rannou, comme le Cours de calcul formel, algorithmes fondamentaux publié en 1999, présente quelques aspects de l'algèbre effective ainsi que des applications. Le lecteur y découvrira la belle théorie des corps finis. ainsi que ses applications aux tests de primalité et à la factorisation des polynômes. Une brève introduction aux, codes correcteurs et à la cryptographie le convaincra de l'importance des applications pratiques de ces théories algébriques. Il verra aussi comment les bases de Grobrier, assez récemment introduites en algèbre permettent la construction d'algorithmes efficaces pour la division de polynômes à plusieurs variables, et appréciera les importants progrès qui en découlent pour la résolution de systèmes d'équations polynomiales et l'étude des ensembles algébriques.
Ce livre intéressera tous les utilisateurs de systèmes de calcul formel et, tout particulièrement, les candidats à l'Agrégation, que les nombreux exercices prépareront aux épreuves dites de modélisation. Pour garder à cet ouvrage un volume acceptable, les solutions de ces exercices ont été placées sur Internet à une adresse indiquée par les auteurs où elles pourront être librement consultées. |
| Index. décimale : |
512.0 |
| Résumé : |
Le calcul formel a connu un développement rapide durant les vingt dernières années. C'est un outil calculatoire digne d'intérêt pour tout ingénieur ou chercheur. Il fait partie des programmes de l'agrégation de mathématiques et des concours d'entrée à plusieurs grandes écoles. Aujourd'hui, des calculatrices de poche dérivent, intègrent, réalisent des calculs matriciels de manière formelle. Les algorithmes qui sous-tendent ce développement sont purement algébriques. Au travers de quelques résultats d'algèbre élémentaire, nous essayons de montrer comment l'algèbre et l'informatique sont deux disciplines qui se fécondent l'une l'autre. Cet ouvrage n'est pas un cours d'algèbre classique : il veut sensibiliser les étudiants aux problèmes que l'on rencontre au contact des ordinateurs et veille à ce que les solutions données aux problèmes rencontrés soient réellement utilisables en pratique. La démarche suivie consiste à montrer comment construire une solution effective à un problème donné puis à en déduire un algorithme efficace. Cet algorithme sera ensuite appliqué à des exemples non triviaux dont on cherchera à évaluer la complexité. Cette approche nous semble fructueuse sur plus d'un plan : elle permet de prendre contact avec le monde des mathématiques appliquées et d'enseigner les structures algébriques sous une forme extrêmement concrète. Par exemple, on prendra conscience de la pertinence de la notion d'anneau euclidien en voyant comment on peut effectuer des calculs identiques dans des ensembles aussi différents que les entiers de Gauss et les anneaux de polynômes sur un corps. Voilà qui simplifie les tâches et donne du sens à l'abstraction. C'est là une profonde conviction que nous désirons faire partager dans ce livre.
Chapitre I : Algorithmique. I.l Calcul formel : quelques généralités. I.2 De la complexité des calculs. I.3 De la conception d'un algorithme. Exercices.
Chapitre II : Codage et arithmétique élémentaire. II.1 Bases de numération et codage informatique. II.2 Arithmétique des nombres entiers. II.3 Arithmétique des polynômes. Exercices.
Chapitre III : Anneaux factoriels. et euclidiens. III.1 Anneaux factoriels. III.2 Anneaux euclidiens. III.3 L'algorithme d'Euclide. III.4 Analyse de l'algorithme d'EUCLIDE dans Z. III.S Recherche du pgcd dans un anneau de polynômes. Exercices.
Chapitre IV : L'ensemble Z/nZ. et applications. IV.I Généralités. IV.2 Systèmes congruents. IV.3 Calculs modulaires. IV.4 Quelques applications en arithmétique. IV.5 Une petite initiation à la cryptographie. Exercices.
Chapitre V : Calculs polynomiaux. V.l Interpolation dans Z[X]. V.2 Calculs dans Z[Xl,…, Xn]. Exercices.
Chapitre VI : Séries formelles. VI.I L'anneau des séries formelles. VI.2 Suites récurrentes linéaires. VI.3 Suites P-récurrentes et équations différentielles dans Z[[X]]. VI.4 Une application combinatoire : les nombres de CATALAN. Exercices.
Chapitre VII : Systèmes d'équations. VII.I Résolution de systèmes linéaires. VII.2 Résultants. VII.3 Applications. Exercices. Annexe : Programmation avec Maple V.
Bibliographie. Index |
Cours de calcul formel : corps finis, systèmes polynomiaux, applications [texte imprimé] / Philippe Saux Picart, Auteur ; Éric Rannou (1966-....), Auteur . - Paris : Ellipses, 2002 . - X-214 p. : ill., couv. ill. ; 26 cm. - ( Mathématiques pour le 2e cycle, ISSN 1281-4164) . ISBN : 978-2-7298-1025-2 : 21,50 EUR Bibliogr. p. 212. Index Langues : Français ( fre)
| Mots-clés : |
La collection Mathématiques 2è cycle propose le mettre à la disposition des étudiants de licence et de maîtrise de mathématiques des ouvrages couvrant l'essentiel des programmes actuels des universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront être utiles aussi - étudiants qui préparent le CAPES ou l'agrégation, ainsi qu aux élèves des grandes écoles.
Nous avons voulu rendre ces livres accessibles à tous : les sujets traités sont présentés de manière simple et progressive, tout en respectant scrupuleuse aient la rigueur mathématique. Chaque volume comporte Lin expose du cours avec des démonstrations détaillées de tous les résultats essentiels et de nombreux exercices. Les auteurs de ces ouvrages ont tous une grande expérience de l'enseignement des mathématiques au niveau supérieur.
Ce livre de Philippe Saux Picart et Éric Rannou, comme le Cours de calcul formel, algorithmes fondamentaux publié en 1999, présente quelques aspects de l'algèbre effective ainsi que des applications. Le lecteur y découvrira la belle théorie des corps finis. ainsi que ses applications aux tests de primalité et à la factorisation des polynômes. Une brève introduction aux, codes correcteurs et à la cryptographie le convaincra de l'importance des applications pratiques de ces théories algébriques. Il verra aussi comment les bases de Grobrier, assez récemment introduites en algèbre permettent la construction d'algorithmes efficaces pour la division de polynômes à plusieurs variables, et appréciera les importants progrès qui en découlent pour la résolution de systèmes d'équations polynomiales et l'étude des ensembles algébriques.
Ce livre intéressera tous les utilisateurs de systèmes de calcul formel et, tout particulièrement, les candidats à l'Agrégation, que les nombreux exercices prépareront aux épreuves dites de modélisation. Pour garder à cet ouvrage un volume acceptable, les solutions de ces exercices ont été placées sur Internet à une adresse indiquée par les auteurs où elles pourront être librement consultées. |
| Index. décimale : |
512.0 |
| Résumé : |
Le calcul formel a connu un développement rapide durant les vingt dernières années. C'est un outil calculatoire digne d'intérêt pour tout ingénieur ou chercheur. Il fait partie des programmes de l'agrégation de mathématiques et des concours d'entrée à plusieurs grandes écoles. Aujourd'hui, des calculatrices de poche dérivent, intègrent, réalisent des calculs matriciels de manière formelle. Les algorithmes qui sous-tendent ce développement sont purement algébriques. Au travers de quelques résultats d'algèbre élémentaire, nous essayons de montrer comment l'algèbre et l'informatique sont deux disciplines qui se fécondent l'une l'autre. Cet ouvrage n'est pas un cours d'algèbre classique : il veut sensibiliser les étudiants aux problèmes que l'on rencontre au contact des ordinateurs et veille à ce que les solutions données aux problèmes rencontrés soient réellement utilisables en pratique. La démarche suivie consiste à montrer comment construire une solution effective à un problème donné puis à en déduire un algorithme efficace. Cet algorithme sera ensuite appliqué à des exemples non triviaux dont on cherchera à évaluer la complexité. Cette approche nous semble fructueuse sur plus d'un plan : elle permet de prendre contact avec le monde des mathématiques appliquées et d'enseigner les structures algébriques sous une forme extrêmement concrète. Par exemple, on prendra conscience de la pertinence de la notion d'anneau euclidien en voyant comment on peut effectuer des calculs identiques dans des ensembles aussi différents que les entiers de Gauss et les anneaux de polynômes sur un corps. Voilà qui simplifie les tâches et donne du sens à l'abstraction. C'est là une profonde conviction que nous désirons faire partager dans ce livre.
Chapitre I : Algorithmique. I.l Calcul formel : quelques généralités. I.2 De la complexité des calculs. I.3 De la conception d'un algorithme. Exercices.
Chapitre II : Codage et arithmétique élémentaire. II.1 Bases de numération et codage informatique. II.2 Arithmétique des nombres entiers. II.3 Arithmétique des polynômes. Exercices.
Chapitre III : Anneaux factoriels. et euclidiens. III.1 Anneaux factoriels. III.2 Anneaux euclidiens. III.3 L'algorithme d'Euclide. III.4 Analyse de l'algorithme d'EUCLIDE dans Z. III.S Recherche du pgcd dans un anneau de polynômes. Exercices.
Chapitre IV : L'ensemble Z/nZ. et applications. IV.I Généralités. IV.2 Systèmes congruents. IV.3 Calculs modulaires. IV.4 Quelques applications en arithmétique. IV.5 Une petite initiation à la cryptographie. Exercices.
Chapitre V : Calculs polynomiaux. V.l Interpolation dans Z[X]. V.2 Calculs dans Z[Xl,…, Xn]. Exercices.
Chapitre VI : Séries formelles. VI.I L'anneau des séries formelles. VI.2 Suites récurrentes linéaires. VI.3 Suites P-récurrentes et équations différentielles dans Z[[X]]. VI.4 Une application combinatoire : les nombres de CATALAN. Exercices.
Chapitre VII : Systèmes d'équations. VII.I Résolution de systèmes linéaires. VII.2 Résultants. VII.3 Applications. Exercices. Annexe : Programmation avec Maple V.
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